Числовая последовательность xn называется. Ограниченные и неограниченные последовательности. Предел числовой последовательности
Последовательность - одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие элемент x n некоторого множества. Последовательность записывается в виде x 1 , x 2 , …, x n , или кратко (x n). Элементы x 1 , x 2 , …, x n называются членами последовательности, x 1 - первым, x 2 - вторым, x n - общим (n-м) членом последовательности.
Наиболее часто рассматривают числовые последовательности, т. е. последовательности, члены которых - числа. Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей n-й член последовательности х 1 через его номер n. Например, если
Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Например:
Примеры числовых последовательностей - арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия .
Интересно проследить поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера n (то, что n неограниченно возрастает, записывается в виде n → ∞ и читается: «n стремится к бесконечности»).
Рассмотрим последовательность с общим членом x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 = 1/3, …, x 100 = 1/100, …. Все члены этой последовательности отличны от нуля, но чем больше n, тем меньше x n отличается от нуля. Члены этой последовательности при неограниченном возрастании n стремятся к нулю. Говорят, что число нуль есть предел этой последовательности.
Другой пример: x n = (−1) n /n - определяет последовательность
Члены этой последовательности также стремятся к нулю, но они то больше нуля, то меньше нуля - своего предела.
Рассмотрим еще пример: x n = (n − 1)/(n + 1). Если представить x n в виде
то станет понятно, что эта последовательность стремится к единице.
Дадим определение предела последовательности. Число a называется пределом последовательности (x n), если для любого положительного числа ε можно указать такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство |x n − a| < ε.
Если a есть предел последовательности (x n), то пишут x n → a, или a = lim n→∞ x n (lim - три первые буквы латинского слова limes - «предел»).
Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число a в интервал (a − ε, a + ε) (см. рис.). Число а есть предел последовательности (x n), если независимо от малости интервала (a − ε, a + ε) все члены последовательности с номерами, бо́льшими некоторого N, будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала (a − ε, a + ε) может находиться лишь конечное число членов последовательности.
Для рассмотренной последовательности x n = (−1) n /n в ε-окрестность точки нуль при ε = 1/10 попадают все члены последовательности, кроме первых десяти, а при ε = 1/100 - все члены последовательности, кроме первых ста.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся. Вот пример расходящейся последовательности: x n = (−1) n . Ее члены попеременно равны +1 и −1 и не стремятся ни к какому пределу.
Если последовательность сходится, то она ограничена, т. е. существуют такие числа c и d, что все члены последовательности удовлетворяют условию c ≤ x n ≤ d. Отсюда следует, что все неограниченные последовательности расходящиеся. Таковы последовательности:
Стремящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой. Понятие бесконечно малой может быть положено в основу общего определения предела последовательности, так как предел последовательности (x n) равен a тогда, и только тогда, когда x n представимо в виде суммы x n = a + α n , где α n бесконечно малая.
Рассмотренные последовательности (1/n), ((−1) n /n) являются бесконечно малыми. Последовательность (n − 1)/(n + 1), как следует из (2), отличается от 1 на бесконечно малую 2/(n + 1), и потому предел этой последовательности равен 1.
Большое значение в математическом анализе имеет также понятие бесконечно большой последовательности. Последовательность (x n) называется бесконечно большой, если последовательность (1/x n) бесконечно малая. Бесконечно большую последовательность (x n) записывают в виде x n → ∞, или lim n→∞ x n = ∞, и говорят, что она «стремится к бесконечности». Вот примеры бесконечно больших последовательностей:
(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).
Подчеркнем, что бесконечно большая последовательность не имеет предела.
Рассмотрим последовательности (x n) и (y n). Можно определить последовательности с общими членами x n + y n , x n − y n , x n y n и (если y n ≠ 0) x n /y n . Справедлива следующая теорема, которую часто называют теоремой об арифметических действиях с пределами: если последовательности (x n) и (y n) сходящиеся, то сходятся также последовательности (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), (x n /y n) и имеют место равенства:
В последнем случае необходимо потребовать, кроме того, чтобы все члены последовательности (y n) были отличны от нуля, еще и чтобы выполнялось условие lim n→∞ y n ≠ 0.
Применяя эту теорему, можно находить многие пределы. Найдем, например, предел последовательности с общим членом
Представив x n в виде
установим, что предел числителя и знаменателя существует:
поэтому получим:
lim n→∞ x n = 2/1 =2.
Важный класс последовательностей - монотонные последовательности. Так называют последовательности возрастающие (x n+1 > x n при любом n), убывающие (x n+1 < x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.
Представим себе, что последовательность (x n) не убывает, т. е. выполняются неравенства
x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,
и пусть, кроме того, эта последовательность ограничена сверху, т. е. все x n не превосходят некоторого числа d. Каждый член такой последовательности больше предыдущего или равен ему, но все они не превосходят d. Вполне очевидно, что эта последовательность стремится к некоторому числу, которое либо меньше d, либо равно d. В курсе математического анализа доказывается теорема, что неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (аналогичное утверждение справедливо для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности). Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных n-угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается π.
С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число е - основание натуральных логарифмов:
е = lim n→∞ (1 + 1/n) n .
Последовательность (1), как уже отмечалось, монотонная и, кроме того, ограничена сверху. Она имеет предел. Мы легко найдем этот предел. Если он равен a, то число а должно удовлетворять равенству a = √(2 + a). Решая это уравнение, получаем a = 2.
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность
x1, х2, …, хn = {xn}
Общий элемент последовательности является функцией от n.
Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.
Задать последовательность можно различными способами - главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …
{xn} = {sinn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …
Для последовательностей можно определить следующие операции:
Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …
Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} {yn} = {xn yn}.
Произведение последовательностей: {xn}{yn} = {xnyn}.
Частное последовательностей: при {yn} 0.
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что xn M.
Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что xn M
Пример. {xn} = n - ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие: Это записывается: lim xn = a.
В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n.
Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
Пример. Доказать, что предел последовательности lim .
Пусть при n > N верно, т.е. . Это верно при, таким образом, если за N взять целую часть от, то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Пример. Показать, что при n последовательность 3, имеет пределом число 2.
Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn - 2
Очевидно, что существует такое число n, что, т.е. lim {xn} = 2.
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.
xn a; xn b; a b.
Тогда по определению существует такое число >0, что
Определение. Последовательность {x n } называется ограниченной , если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Определение. Последовательность (x n) называется ограниченной сверху
Определение. Последовательность {x n }называется ограниченной снизу , если для любого n существует такое число М, что
Пример. {x n } = n - ограничена снизу {1, 2, 3,}.
Определение. Число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:
Это записывается: lim x n = a.
В этом случае говорят, что последовательность {x n } сходится к а при n®¥.
Свойство: Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
Пример . Доказать, что предел последовательности lim .
Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.
Итого: {x n }= 2 + 1/n; 1/n = x n - 2
Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {x n } = 2.
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность {x n }имеет два предела a и b, не равные друг другу.
x n ® a; x n ® b; a ¹ b.
Тогда по определению существует такое число e >0, что
Запишем выражение:
А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.
Теорема. Если x n ® a, то .
Доказательство. Из x n ® a следует, что . В то же время:
Т.е. , т.е. . Теорема доказана.
Теорема. Если x n ® a, то последовательность {x n } ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательностьне имеет предела, хотя
Монотонные последовательности
Определение:
1) Если x n +1 > x n для всех n, то последовательность возрастающая.
2) Если x n +1 ³ x n для всех n, то последовательность неубывающая.
3) Если x n +1 < x n для всех n, то последовательность убывающая.
4) Если x n +1 £ x n для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными .
Пример . {x n } = 1/n - убывающая и ограниченная
{x n } = n - возрастающая и неограниченная.
Пример . Доказать, что последовательность {x n } = монотонная возрастающая.
Найдем член последовательности {x n +1 } =
Найдем знак разности: {x n }-{x n +1 } =
Т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.
Таким образом, x n +1 > x n . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Пример . Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность {x n } = .
Найдем . Найдем разность
Т.к. nÎN, то 1 - 4n <0, т.е. х n +1 < x n . Последовательность монотонно убывает.
Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность х 1 £ х 2 £ х 3 £ … £ х n £ x n +1 £
Эта последовательность ограничена сверху: x n £ M, где М - некоторое число.
Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что x N > a - e, где а - некоторая верхняя грань множества.
Т.к. {x n } - неубывающая последовательность, то при N > n а - e Отсюда a - e < x n < a + e E < x n - a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a. Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично. Введение………………………………………………………………………………3 1.Теоретическая часть……………………………………………………………….4 Основные понятия и термины…………………………………………………....4 1.1 Виды последовательностей…………………………………………………...6 1.1.1.Ограниченные и неограниченные числовые последовательности…..6 1.1.2.Монотонность последовательностей…………………………………6 1.1.3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности…….7 1.1.4.Свойства бесконечно малых последовательностей…………………8 1.1.5.Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства..…9 1.2Предел последовательности………………………………………………….11 1.2.1.Теоремы о пределах последовательностей……………………………15 1.3.Арифметическая прогрессия…………………………………………………17 1.3.1. Свойства арифметической прогрессии…………………………………..17 1.4Геометрическая прогрессия…………………………………………………..19 1.4.1. Свойства геометрической прогрессии…………………………………….19 1.5. Числа Фибоначчи……………………………………………………………..21 1.5.1 Связь чисел Фибоначчи с другими областями знаний…………………….22 1.5.2. Использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы…………………………………………………………………………….23 2. Собственные исследования…………………………………………………….28 Заключение……………………………………………………………………….30 Список использованной литературы…………………………………………....31 Введение. Числовые последовательности это очень интересная и познавательная тема. Эта тема встречается в заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ. Мне интересно узнать связь математических последовательностей с другими областями знаний. Цель исследовательской работы: Расширить знания о числовой последовательности. 1. Рассмотреть последовательность; 2. Рассмотреть ее свойства; 3. Рассмотреть аналитическое задание последовательности; 4. Продемонстрировать ее роль в развитии других областей знаний. 5. Продемонстрировать использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы. 1. Теоретическая часть. Основные понятия и термины. Определение. Числовая последовательность– функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности. Число a называется пределом последовательности x = {x n }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x n - a| < ε. Если число a есть предел последовательности x = {x n }, то говорят, что x n стремится к a, и пишут Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего: y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …. Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего: y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … . Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T . Число T называется длиной периода. Арифметическая прогрессия- это последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …) Геометрическая прогрессия- это последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…). 1.1 Виды последовательностей. 1.1.1 Ограниченные и неограниченные последовательности. Последовательность {bn} называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≤ M; Последовательность {bn} называют ограниченной снизу, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≥ М; Например: 1.1.2 Монотонность последовательностей. Последовательность {bn} называют невозрастающие (неубывающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1); Последовательность {bn} называют убывающей (возрастающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn> bn+1 (bn Убывающие и возрастающие последовательности называют строго монотонными, невозрастающие- монотонными в широком смысле. Последовательности, ограниченные одновременно сверху и снизу, называются ограниченными. Последовательность всех этих типов носят общее название- монотонные. 1.1.3 Бесконечно большие и малые последовательности. Бесконечно малая последовательность- это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Последовательность an называется бесконечно малой, если Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)=0. Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если ℓimx→.+∞ f(x)=0 либо ℓimx→-∞ f(x)=0 Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0. Бесконечно большая последовательность- числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности. Последовательность an называется бесконечно большой, если ℓimn→0 an=∞. Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)= ∞. Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ либо ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Свойства бесконечно малых последовательностей. Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Любая бесконечно малая последовательность ограничена. Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю. Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы - нули. Если {xn} - бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/xn} , которая является бесконечно малой. Если же всё же {xn} содержит нулевые элементы, то последовательность {1/xn} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой. Если {an} - бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/an}, которая является бесконечно большой. Если же всё же {an}содержит нулевые элементы, то последовательность {1/an} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой. 1.1.5 Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства. Сходящаяся последовательность- это последовательность элементов множества Х, имеющая предел в этом множестве. Расходящаяся последовательность- это последовательность, не являющаяся сходящейся. Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю. Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности. Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится. Если последовательность {xn} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность {1/xn}, которая является ограниченной. Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность. Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела. Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней. Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй. Если функция определена на множестве натуральных чисел N, то такая функция называется бесконечной числовой последовательностью. Обычно числовые последовательность обозначают как(Xn), где n принадлежит множеству натуральных чисел N. Числовая последовательность может быть задана формулой. Например, Xn=1/(2*n). Таким образом мы ставим в соответствие каждому натуральному числу n некоторый определенный элемент последовательности (Xn). Если теперь последовательно брать n равными 1,2,3, …., мы получим последовательность (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), … Последовательность может быть ограниченной или неограниченной, возрастающей или убывающей. Последовательность (Xn) называет ограниченной,
если существуют два числа m и M такие, что для любого n принадлежащего множеству натуральных чисел, будет выполняться равенство m<=Xn Последовательность (Xn), не являющаяся ограниченной,
называется неограниченной последовательностью. возрастающей,
если для всех натуральных n выполняется следующее равенство X(n+1) > Xn. Другими словами, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть больше предыдущего члена. Последовательность (Xn) называется убывающей,
если для всех натуральных n выполняется следующее равенство X(n+1) < Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена. Проверим, являются ли последовательности 1/n и (n-1)/n убывающими. Если последовательность убывающая, то X(n+1) < Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0. X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1)) < 0. Значит последовательность 1/n убывающая. (n-1)/n:
X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Значит последовательность (n-1)/n возрастающая.Виды последовательности
Пример последовательности