Какую теорему не могут доказать. Хочу учиться - нерешенные задачи. Пьер Ферма и его «недоказуемая» теорема
![Какую теорему не могут доказать. Хочу учиться - нерешенные задачи. Пьер Ферма и его «недоказуемая» теорема](https://i2.wp.com/neudoff.net/blog/wp-content/uploads/2012/06/perelman.jpg)
Лев Валентинович Руди, автор статьи «Пьер Ферма и его «недоказуемая» теорема»,прочитав публикацию об одном из 100 гениев современности математике , который был назван гением благодаря своему решению теоремы Ферма, предложил опубликовать свое альтернативное мнение на эту тему. На что мы охотно откликнулись и публикуем его статью без сокращений.
Пьер Ферма и его «недоказуемая» теорема
В этом году исполнилось 410 лет со дня рождения великого французского математика Пьера Ферма. Академик В.М. Тихомиров пишет о П. Ферма: «Лишь один математик удостоился того, что имя его стало нарицательным. Если говорят «ферматист», значит, речь идет о человеке, одержимом до безумия какой-то несбыточной идеей. Но это слово не может быть отнесено к самому Пьеру Ферма (1601-1665), одному из самых светлых умов Франции.
П. Ферма - человек удивительной судьбы: один из величайших математиков мира, он не был «профессиональным» математиком. По профессии Ферма был юристом. Он получил великолепное образование и был выдающимся знатоком искусства и литературы. Всю жизнь он проработал на государственной службе, последние 17 лет был советником парламента в Тулузе. К математике его влекла бескорыстная и возвышенная любовь, и именно эта наука дала ему все, что может дать человеку любовь: упоение красотой, наслаждение и счастье.
В бумагах и переписке Ферма сформулировал немало красивых утверждений, о которых он писал, что располагает их доказательством. И постепенно таких недоказанных утверждений становилось все меньше и, наконец, осталось только одно - его загадочная Великая теорема!
Однако, тем, кто интересуется математикой, имя Ферма говорит о многом независимо от его Великой теоремы. Он был одним из самых проницательных умов своего времени, его считают основоположником теории чисел, он внес огромный вклад в развитие аналитической геометрии, математического анализа. Мы признательны Ферма за то, что он приоткрыл для нас мир, полный красоты и загадочности» (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).
Странная, однако, «признательность»!? Математический мир и просвещенное человечество проигнорировали 410-й юбилей Ферма. Все было, как всегда, тихо, мирно, буднично... Не было слышно фанфар, хвалебных речей, тостов. Из всех математиков мира только Ферма «удостоился» такой высокой чести, что при слове «ферматист», все понимают, что речь идет о полудурке, который «до безумия одержим несбыточной идеей» найти утерянное доказательство теоремы Ферма!
В своем замечании на полях книги Диофанта Ферма писал: «Я нашел поистине удивительное доказательство своему утверждению, но поля книги узки, чтобы его уместить». Так это же был «момент слабости математического гения XVII века». Этот тупица не понимал, что «ошибается», а, скорее всего, он просто «врал», «лукавил».
Если Ферма утверждал, значит, доказательство у него было!? Уровень знаний был не выше, чем у современного десятиклассника, но если какой-то инженер пытается найти это доказательство, то его высмеивают, объявляют безумцем. И совсем другое дело, если американский 10-летний мальчик Э. Уайлс «принимает в качестве исходной гипотезы, что Ферма не мог знать намного больше математики, чем он», и начинает «доказывать» эту «недоказуемую теорему». На такое, естественно, способен только «гений».
Случайно я попал на сайт (works.tarefer.ru›50/100086/index.html), где студентка Читинского ГТУ Кушенко В.В. пишет о Ферма: «...Маленький городок Бомон и все его пять тысяч жителей не в силах осознать, что здесь родился великий Ферма, последний математик-алхимик, решавший праздные задачи грядущих столетий, тишайший судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своими загадками, осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник, гениальный компилятор, один из четырех титанов математики... Ферма почти не выезжал из Тулузы, где осел после женитьбы на Луизе де Лонг, дочери советника парламента. Благодаря тестю он дослужился до звания советника и приобрел вожделенную приставку «де». Сын третьего сословия, практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью и францисканским благочестием, он не ставил перед собой грандиозных задач в реальной жизни...
В свой бурный век он прожил основательно и тихо. Он не писал философских трактатов, как Декарт, не был наперсником французских королей, как Виет, не воевал, не путешествовал, не создавал математические кружки, не имел учеников и не печатался при жизни... Не обнаружив никаких сознательных претензий на место в истории, Ферма умирает 12 января 1665 года».
Я был потрясен, шокирован... А кто был первым «математиком-алхимиком»!? Что это за «праздные задачи грядущих столетий»!? «Чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник»... Откуда у этих зеленых юнцов и юниц столько пренебрежения, презрения, цинизма к человеку, жившему за 400 лет до них!? Какое кощунство, вопиющая несправедливость!? Но, не сами же юнцы все это придумали!? Их надоумили математики, «цари наук», то самое «человечество», которое «лукавый сфинкс» Ферма «замучил своими загадками».
Однако, Ферма не может нести какую-либо ответственность за то, что спесивые, но бездарные потомки триста с лишним лет сшибали свои рога о его школьную теоремку. Унижая, оплевывая Ферма, математики пытаются спасти свою честь мундира!? Но никакой «чести» давно нет, даже «мундира» нет!? Детская задачка Ферма стала величайшим позором «отборной, доблестной» армии математиков мира!?
«Цари наук» опозорились тем, что семь поколений математических «светил» так и не смогли доказать школьную теоремку, которую доказали и П. Ферма, и арабский математик ал-Худжанди за 700 лет до Ферма!? Они опозорились и тем, что вместо признания своих ошибок, ославили П. Ферма обманщиком и стали раздувать миф о «недоказуемости» его теоремы!? Математики опозорились и тем, что уже целое столетие остервенело травят математиков-любителей, «бьют по голове своих братьев меньших». Эта травля стала самым позорным, после утопления Пифагором Гиппаса, деянием математиков во всей истории научной мысли! Они опозорились и тем, что под видом «доказательства» теоремы Ферма, подсунули просвещенному человечеству сомнительное «творение» Э. Уайлса, которое «не понимают» даже самые яркие светила математики!?
410-летний юбилей со дня рождения П. Ферма - это, несомненно, достаточно веский довод для того, чтобы математики, наконец, образумились и перестали бы наводить тень на плетень и восстановили бы доброе, честное имя великого математика. П. Ферма «не обнаружил никаких сознательных претензий на место в истории», но эта своенравная и капризная Дама сама внесла его на руках в свои анналы, зато многих рьяных и ретивых «претендентов» она выплюнула, как изжеванную жвачку. И ничего с этим не поделаешь, всего одна из многих его красивых теорем навечно вписала имя П. Ферма в историю.
Но это уникальное творение Ферма и само уже целое столетие загнано в «подполье», объявлено «вне закона», стало самой презренной и ненавистной задачей во всей истории математики. Но настало время этому «гадкому утенку» математики превращаться в прекрасного лебедя! Удивительная загадка Ферма выстрадала свое право занять достойное место и в сокровищнице математических знаний, и в каждой школе мира рядом со своей сестрой - теоремой Пифагора.
Такая уникальная, изящная задача просто не может не иметь и красивые, изящные решения. Если теорема Пифагора имеет 400 доказательств, то пусть в первое время у теоремы Ферма будет всего 4 простых доказательства. Они есть, постепенно их станет больше!? Я считаю, что 410-летний юбилей П. Ферма - это самый подходящий повод или случай, для того, чтобы математикам-профессионалам образумиться и прекратить, наконец, эту бессмысленную, абсурдную, хлопотную и абсолютно бесполезную «блокаду» любителей!?
Часто, беседуя со старшеклассниками об исследовательских работах по математике, слышу следующее: "Что можно нового открыть в математике?" А действительно: может быть все великие открытия сделаны, а теоремы доказаны?
8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт (David Hilbert) изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма, с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным.По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю (Landon T. Clay). В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем - по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems:
1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)
Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.
Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.
2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)
Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)
Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.
4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)
В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.
5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году)
Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.
6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году)
Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики ищут правильный ответ до сих пор.
7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году)
Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга - Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.
Думаю, что этот материал, опубликованный в блоге интересен не только студентам, но и школьникам, серьёзно занимающимся математикой. Есть над чем подумать, выбирая темы и направления исследовательских работ.
Пьер Ферма, читая «Арифметику» Диофанта Александрийского и размышляя над её задачами, имел привычку записывать на полях книги результаты своих размышлений в виде кратких замечаний. Против восьмой задачи Диофанта на полях книги, Ферма записал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки » /Э.Т.Белл «Творцы математики». М.,1979, стр.69 /. Предлагаю Вашему вниманию элементарное доказательство теоремы ферма, которое может понять любой старшеклассник, увлекающийся математикой.
Сравним комментарий Ферма к задаче Диофанта с современной формулировкой великой теоремы Ферма, имеющей вид уравнения.
«Уравнение
x n + y n = z n (где n – целое число большее двух)
не имеет решений в целых положительных числах »
Комментарий находится с задачей в логической связи, аналогичной логической связи сказуемого с подлежащим. То, что утверждается задачей Диофанта, наоборот утверждается комментарием Ферма.
Комментарий Ферма можно так трактовать: если квадратное уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение с тремя неизвестными в степени, большей квадрата
В уравнении нет даже намека на его связь с задачей Диофанта. Его утверждение требует доказательства, но при нём нет условия, из которого следует, что оно не имеет решений в целых положительных числах.
Известные мне варианты доказательства уравнения сводятся к следующему алгоритму.
- Уравнение теоремы Ферма принимается за её заключение, в справедливости которого убеждаются при помощи доказательства.
- Это же уравнение называют исходным уравнением, из которого должно исходить его доказательство.
В результате образовалась тавтология: «Если уравнение не имеет решений в целых положительных числах, то оно не имеет решений в целых положительных числах ».Доказательство тавтологии заведомо является неправильным и лишенным всякого смысла. Но её доказывают методом от противного.
- Принимается предположение, противоположное тому, что утверждается уравнением, которое требуется доказать. Оно не должно противоречить исходному уравнению, а оно ему противоречит. Доказывать то, что принято без доказательства, и принимать без доказательства то, что требуется доказать, не имеет смысла.
- На основании принятого предположения выполняются абсолютно правильные математические операции и действия, чтобы доказать, что оно противоречит исходному уравнению и является ложным.
Поэтому вот уже 370 лет доказательство уравнения великой теоремы Ферма остаётся неосуществимой мечтой специалистов и любителей математики.
Я принял уравнение за заключение теоремы, а восьмую задачу Диофанта и её уравнение — за условие теоремы.
«Если уравнение x 2 + y 2 = z 2
(1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение x n + y n = z n
, где n > 2
(2) не имеет решений на множестве целых положительных чисел.»
Доказательство.
А) Всем известно, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел. Докажем, что ни одна тройка пифагоровых чисел, являющаяся решением уравнения (1), не является решением уравнения (2).
На основании закона обратимости равенства, стороны уравнения (1) поменяем местами. Пифагоровы числа (z, х, у ) могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а квадраты ( x 2 , y 2 , z 2 ) могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на его гипотенузе и катетах.
Площади квадратов уравнения (1) умножим на произвольную высоту h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Уравнение (3) можно трактовать как равенство объема параллелепипеда сумме объёмов двух параллелепипедов.
Пусть высота трех параллелепипедов h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Объем куба разложился на два объема двух параллелепипедов. Объём куба оставим без изменений, а высоту первого параллелепипед уменьшим до x и высоту второго параллелепипеда уменьшим до y . Объём куба больше суммы объёмов двух кубов:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
На множестве троек пифагоровых чисел (х, у, z ) при n = 3 не может быть ни одного решения уравнения (2). Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел невозможно куб разложить на два куба.
Пусть в уравнении (3) высота трёх параллелепипедов h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Объем параллелепипеда разложился на сумму объёмов двух параллелепипедов.
Левую сторону уравнения (6) оставим без изменения. На правой его стороне высоту z 2
уменьшим до х
в первом слагаемом и до у 2
во втором слагаемом.
Уравнение (6) обратилось в неравенство:
Объем параллелепипеда разложился на два объема двух параллелепипедов.
Левую сторону уравнения (8) оставим без изменения.
На правой стороне высоту z n-2
уменьшим до x n-2
в первом слагаемом и уменьшим до y n-2
во втором слагаемом. Уравнение (8) обращается в неравенство:
z n > x n + y n | (9) |
На множестве троек пифагоровых чисел не может быть ни одного решения уравнения (2).
Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел при всех n > 2 уравнение (2) не имеет решений.
Получено «постине чудесное доказательство», но только для троек пифагоровых чисел . В этом заключается недостаток доказательства и причина отказа П. Ферма от него.
B) Докажем, что уравнение (2) не имеет решений на множестве троек непифагоровых чисел, представляющем сбой семейство произвольно взятой тройки пифагоровых чисел z = 13, x = 12, y = 5 и семейство произвольно взятой тройки целых положительных чисел z = 21, x = 19, y = 16
Обе тройки чисел являются членами своих семейств:
(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Число членов семейства (10) и (11) равно половине произведения 13 на 12 и 21 на 20, т. е. 78 и 210.
В каждом члене семейства (10) присутствует z = 13 и переменные х и у 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
В каждом члене семейства (11) присутствует z = 21 и переменные х и у , которые принимают значения целых чисел 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Переменные последовательно убывают на 1 .
Тройки чисел последовательности (10) и (11) можно представить в виде последовательности неравенств третьей степени:
13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
и в виде неравенств четвертой степени:
13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Правильность каждого неравенства удостоверяется возвышением чисел в третью и в четвертую степень.
Куб большего числа невозможно разложить на два куба меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы кубов двух меньших чисел.
Биквадрат большего числа невозможно разложить на два биквадрата меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы биквадратов меньших чисел.
С возрастанием показателя степени все неравенства, кроме левого крайнего неравенства, имеют одинаковый смысл:
Неравенств они все имеют одинаковый смысл: степень большего числа больше суммы степеней меньших двух чисел с тем же показателем:
13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Левый крайний член последовательностей (12) (13) представляет собой наиболее слабое неравенство. Его правильность определяет правильность всех последующих неравенств последовательности (12) при n > 8 и последовательности (13) при n > 14 .
Среди них не может быт ни одного равенства. Произвольно взятая тройка целых положительных чисел (21,19,16) не является решением уравнения (2) великой теоремы Ферма. Если произвольно взятая тройка целых положительных чисел не является решением уравнения, то уравнение не имеет решений на множестве целых положительных чисел, что и требовалось доказать.
С) В комментарии Ферма к задаче Диофанта утверждается, что невозможно разложить «вообще, никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем ».
Целую степень, большую квадрата, действительно невозможно разложить на две степени с тем же показателем. Нецелую степень, большую квадрата можно разложить на две степени с тем же показателем.
Любая произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z, x, y) может принадлежать семейству, каждый член которого состоит из постоянного числа z и двух чисел, меньших z . Каждый член семейства может быть представлен в форме неравенства, а все полученные неравенства — в виде последовательности неравенств:
z n < (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n > 1 n + 1 n | (14) |
Последовательность неравенств (14) начинается неравенствами, у которых левая сторона меньше правой стороны, а оканчивается неравенствами, у которых правая сторона меньше левой стороны. С возрастанием показателя степени n > 2 число неравенств правой стороны последовательности (14) увеличивается. При показателе степени n = k все неравенства левой стороны последовательности изменяют свой смысл и принимают смысл неравенств правой стороны неравенств последовательности (14). В результате возрастания показателя степени у всех неравенств левая сторона оказывается больше правой стороны:
z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k | (15) |
При дальнейшем возрастании показателя степени n > k ни одно из неравенств не изменяет своего смысла и не обращается в равенство. На этом основании можно утверждать, что любая произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z, x, y) при n > 2 , z > x , z > y
В произвольно взятой тройке целых положительных чисел z может быть сколь угодно большим натуральным числом. Для всех натуральных чисел, которые не больше z , большая теорема Ферма доказана.
D) Каким бы ни было большим число z , в натуральном ряду чисел до него имеется большое, но конечное множество целых чисел, а после него – бесконечное множество целых чисел.
Докажем, что все бесконечное множество натуральных чисел, больших z , образуют тройки чисел, которые не являются решениями уравнения большой теоремы Ферма, например, произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z + 1, x ,y) , в которой z + 1 > x и z + 1 > y при всех значениях показателя степени n > 2 не является решением уравнения большой теоремы Ферма.
Произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z + 1, x, y) может принадлежать семейству троек чисел, каждый член которого состоят из постоянного числа z + 1 и двух чисел х и у , принимающих различные значения, меньшие z + 1 . Члены семейства могут быть представлены в форме неравенств, у которых постоянная левая сторона меньше, или больше, правой стороны. Неравенства можно упорядоченно расположить в виде последовательности неравенств:
При дальнейшем возрастании показателя степени n > k до бесконечности ни одно из неравенств последовательности (17) не изменяет своего смысла и не обращается в равенство. В последовательности (16) неравенство, образованное из произвольно взятой тройки целых положительных чисел (z + 1, x, y) , может находиться в её правой части в виде (z + 1) n > x n + y n или находиться в её левой части в виде (z + 1) n < x n + y n .
В любом случае тройка целых положительных чисел (z + 1, x, y) при n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y в последовательности (16) представляет собой неравенство и не может представлять собой равенства, т. е. не может представлять собой решения уравнения большой теоремы Ферма.
Легко и просто понять происхождение последовательности степенных неравенств (16), в которой последнее неравенство левой стороны и первое неравенство правой стороны являются неравенствами противоположного смысла. Наоборот, нелегко и непросто школьникам, старшекласснику и старшекласснице, понять, каким образом из последовательности неравенств (16) образуется последовательность неравенств (17), в которой все неравенства одинакового смысла.
В последовательности (16) увеличение целой степени неравенств на 1 единицу обращает последнее неравенство левой стороны в первое неравенство противоположного смысла правой стороны. Таким образом, количество неравенств девой стороны последовательности уменьшается, а количество неравенств правой стороны увеличивается. Между последним и первым степенными неравенствами противоположного смысла в обязательном порядке находится степенное равенство. Его степень не может быть целым числом, так как между двумя последовательными натуральными числами находятся только нецелые числа. Степенное равенство нецелой степени, по условию теоремы, не может считаться решением уравнения (1).
Если в последовательности (16) продолжать увеличение степени на 1 единицу, то последнее неравенство её левой стороны обратится в первое неравенство противоположного смысла правой стороны. В результате не останется ни одного неравенства левой стороны и останутся только неравенства правой стороны, которые представят собой последовательность усиливающихся степенных неравенств (17). Дальнейшее увеличение их целой степени на 1 единицу лишь усиливает её степенные неравенства и категорически исключает возможность появления равенства в целой степени.
Следовательно, вообще, никакую целую степень натурального числа (z+1) последовательности степенных неравенств (17) невозможно разложить на две целых степени с тем же показателем. Поэтому уравнение (1) не имеет решений на бесконечном множестве натуральных чисел, что и требовалось доказать.
Следовательно, большая теорема Ферма доказана во всей всеобщности:
- в разделе А) для всех троек (z, x, y) пифагоровых чисел (открытое Ферма поистине чудесное доказательство),
- в разделе В) для всех членов семейства любой тройки (z, x, y) пифагоровых чисел,
- в разделе С) для всех троек чисел (z, x, y) , не больших числа z
- в разделе D) для всех троек чисел (z, x, y) натурального ряда чисел.
Изменения внесены 05.09.2010 г. |
Какие теоремы можно и какие нельзя доказать от противного
В толковом словаре математических терминов дано определение доказательству от противного теоремы, противоположной обратной теореме.
«Доказательство от противного – метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обратную противоположной) теорему. Доказательство от противного используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно, а противоположную обратной легче. При доказательстве от противного заключение теоремы заменяется её отрицанием, и путём рассуждения приходят к отрицанию условия, т.е. к противоречию, к противному (противоположному тому, что дано; это приведение к абсурду и доказывает теорему».
Доказательство от противного очень часто применяется в математике. Доказательство от противного основано на законе исключённого третьего, заключающегося в том, что из двух высказываний (утверждений) А и А (отрицание А) одно из них истинно, а другое ложно». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.112/.
Не лучше было бы открыто заявить о том, что метод доказательства от противного не является математическим методом, хотя и используется в математике, что он является логическим методом и принадлежит логике. Допустимо ли утверждать, что доказательство от противного «используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно», когда на самом деле его используют тогда, и только тогда, когда ему нет замены.
Заслуживает особого внимания и характеристика отношения друг к другу прямой и обратной ей теорем. «Обратная теорема для данной теоремы (или к данной теореме) — теорема, в которой условием является заключение, а заключением – условие данной теоремы. Данная теорема по отношению к обратной теореме называется прямой теоремой (исходной). В то же время обратная теорема к обратной теореме будет данной теоремой; поэтому прямая и обратная теоремы называются взаимно обратными. Если прямая (данная) теорема верна, то обратная теорема не всегда верна. Например, если четырёхугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны (прямая теорема). Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник есть ромб – это неверно, т. е. обратная теорема неверна». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.261 /.
Данная характеристика отношения прямой и обратной теорем не учитывает того, что условие прямой теоремы принимается как данное, без доказательства, так что его правильность не имеет гарантии. Условие обратной теоремы не принимается как данное, так как оно является заключением доказанной прямой теоремы. Его правильность засвидетельствована доказательством прямой теоремы. Это существенное логическое различие условий прямой и обратной теорем оказывается решающим в вопросе какие теоремы можно и какие нельзя доказать логическим методом от противного.
Допустим, что на примете имеется прямая теорема, которую доказать обычным математическим методом можно, но трудно. Сформулируем её в общем виде в краткой форме так: из А следует Е . Символ А имеет значение данного условия теоремы, принятого без доказательства. Символ Е имеет значение заключения теоремы, которое требуется доказать.
Доказывать прямую теорему будем от противного, логическим методом. Логическим методом доказывается теорема, которая имеет не математическое условие, а логическое условие. Его можно получить, если математическое условие теоремы из А следует Е , дополнить прямо противоположным условием из А не следует Е .
В результате получилось логическое противоречивое условие новой теоремы, заключающее в себе две части: из А следует Е и из А не следует Е . Полученное условие новой теоремы соответствует логическому закону исключённого третьего и соответствует доказательству теоремы методом от противного.
Согласно закону, одна часть противоречивого условия является ложной, другая его часть является истинной, а третье – исключено. Доказательство от противного имеет совей задачей и целью установить, именно какая часть из двух частей условия теоремы является ложной. Как только будет определена ложная часть условия, так будет установлено, что другая часть является истинной частью, а третье — исключено.
Согласно толковому словарю математических терминов, «доказательство есть рассуждение, в ходе которого устанавливается истинность или ложность какого-либо утверждения (суждения, высказывания, теоремы)» . Доказательство от противного есть рассуждение, в ходе которого устанавливается ложность (абсурдность) заключения, вытекающего из ложного условия доказываемой теоремы.
Дано: из А следует Е и из А не следует Е .
Доказать: из А следует Е .
Доказательство : Логическое условие теоремы заключает в себе противоречие, которое требует своего разрешения. Противоречие условия должно найти своё разрешение в доказательстве и его результате. Результат оказывается ложным при безупречном и безошибочном рассуждении. Причиной ложного заключения при логически правильном рассуждении может быть только противоречивое условие: из А следует Е и из А не следует Е .
Нет и тени сомнения в том, что одна часть условия является ложной, а другая в этом случае является истинной. Обе части условия имеют одинаковое происхождение, приняты как данные, предположенные, одинаково возможные, одинаково допустимые и т. д. В ходе логического рассуждения не обнаружено ни одного логического признака, который отличал бы одну часть условия от другой. Поэтому в одной и той же мере может быть из А следует Е и может быть из А не следует Е . Утверждение из А следует Е может быть ложным , тогда утверждение из А не следует Е будет истинным. Утверждение из А не следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А следует Е будет истинным.
Следовательно, прямую теорему методом от противного доказать невозможно.
Теперь эту же прямую теорему докажем обычным математическим методом.
Дано: А .
Доказать: из А следует Е .
Доказательство.
1. Из А следует Б
2. Из Б следует В (по ранее доказанной теореме)).
3. Из В следует Г (по ранее доказанной теореме).
4. Из Г следует Д (по ранее доказанной теореме).
5. Из Д следует Е (по ранее доказанной теореме).
На основании закона транзитивности, из А следует Е . Прямая теорема доказана обычным методом.
Пусть доказанная прямая теорема имеет правильную обратную теорему: из Е следует А .
Докажем её обычным математическим методом. Доказательство обратной теоремы можно выразить в символической форме в виде алгоритма математических операций.
Дано: Е
Доказать: из Е следует А .
Доказательство.
1. Из Е следует Д
2. Из Д следует Г (по ранее доказанной обратной теореме).
3. Из Г следует В (по ранее доказанной обратной теореме).
4. Из В не следует Б (обратная теорема неверна). Поэтому и из Б не следует А .
В данной ситуации продолжать математическое доказательство обратной теоремы не имеет смысла. Причина возникновения ситуации – логическая. Неверную обратную теорему ничем заменить невозможно. Следовательно, данную обратную теорему доказать обычным математическим методом невозможно. Вся надежда – на доказательство данной обратной теоремы методом от противного.
Чтобы её доказать методом от противного, требуется заменить её математическое условие логическим противоречивым условием, заключающим в себе по смыслу две части – ложную и истинную.
Обратная теорема утверждает: из Е не следует А . Её условие Е , из которое следует заключение А , является результатом доказательства прямой теоремы обычным математическим методом. Это условие необходимо сохранить и дополнить утверждением из Е следует А . В результате дополнения получается противоречивое условие новой обратной теоремы: из Е следует А и из Е не следует А . Исходя из этого логически противоречивого условия, обратную теорему можно доказать посредством правильного логического рассуждения только, и только, логическим методом от противного. В доказательстве от противного любые математические действия и операции подчинены логическим и поэтому в счёт не идут.
В первой части противоречивого утверждения из Е следует А условие Е было доказано доказательством прямой теоремы. Во второй его части из Е не следует А условие Е было предположено и принято без доказательства. Какое-то из них одно является ложным, а другое – истинным. Требуется доказать, какое из них является ложным.
Доказываем посредством правильного логического рассуждения и обнаруживаем, что его результатом является ложное, абсурдное заключение. Причиной ложного логического заключения является противоречивое логическое условие теоремы, заключающее в себе две части – ложную и истинную. Ложной частью может быть только утверждение из Е не следует А , в котором Е было принято без доказательства. Именно этим оно отличается от Е утверждения из Е следует А , которое доказано доказательством прямой теоремы.
Следовательно, истинным является утверждение: из Е следует А , что и требовалось доказать.
Вывод : логическим методом от противного доказывается только та обратная теорема, которая имеет доказанную математическим методом прямую теорему и которую математическим методом доказать невозможно.
Полученный вывод приобретает исключительное по важности значение в отношении к методу доказательства от противного великой теоремы Ферма. Подавляющее большинство попыток её доказать имеет в своей основе не обычный математический метод, а логический метод доказательства от противного. Доказательство большой теоремы Ферма Уайлса не является исключением.
Дмитрий Абраров в статье «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса» опубликовал комментарий к доказательству большой теоремы Ферма Уайлсом. По Абрарову, Уайлс доказывает большую теорему Ферма с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея (р. 1944), связавшего потенциальное решение уравнения Ферма x n + y n = z n
, где n > 2
, с другим, совершенно непохожим на него, уравнением. Это новое уравнение задаётся специальной кривой (названной эллиптической кривой Фрея). Кривая Фрея задаётся уравнением совсем несложного вида:
.
«А именно Фрей сопоставил всякому решению (a, b, c) уравнение Ферма, то есть числам, удовлетворяющим соотношению a n + b n = c n , указанную выше кривую. В этом случае отсюда следовала бы великая теорема Ферма». (Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»)
Другими словами, Герхард Фрей предположил, что уравнение большой теоремы Ферма x n + y n = z n
, где n > 2
, имеет решения в целых положительных числах. Этими же решения являются, по предположению Фрея, решениями его уравнения
y 2 + x (x — a n) (y + b n) = 0
, которое задаётся его эллиптической кривой.
Эндрю Уайлс принял эту замечательную находку Фрея и с её помощью посредством математического метода доказал, что этой находки, то есть эллиптической кривой Фрея, не существует. Поэтому не существует уравнения и его решений, которые задаются несуществующей эллиптической кривой, Поэтому Уайлсу следовало бы принять вывод о том, что не существует уравнения большой теоремы Ферма и самой теоремы Ферма. Однако им принимается более скромное заключение том, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений в целых положительных числах.
Неопровержимым фактом может являться то, что Уайлсом принято предположение, прямо противоположное по смыслу тому, что утверждается большой теоремой Ферма. Оно обязывает Уайлса доказывать большую теорему Ферма методом от противного. Последуем и мы его примеру и посмотрим, что из этого примера получается.
В большой теореме Ферма утверждается, что уравнение, x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах.
Согласно логическому методу доказательства от противного, это утверждение сохраняется, принимается как данное без доказательства, и затем дополняется противоположным по смыслу утверждением: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решения в целых положительных числах.
Предположенное утверждение так же принимается как данное, без доказательства. Оба утверждения, рассматриваемые с точки зрения основных законов логики, являются одинаково допустимыми, равноправными и одинаково возможными. Посредством правильного рассуждения требуется установить, именно какое из них является ложным, чтобы затем установить, что другое утверждение является истинным.
Правильное рассуждение завершается ложным, абсурдным заключением, логической причиной которого может быть только противоречивое условие доказываемой теоремы, заключающее в себе две части прямо противоположного смысла. Они и явились логической причиной абсурдного заключения, результата доказательства от противного.
Однако в ходе логически правильного рассуждения не было обнаружено ни одного признака, по которому можно было бы установить, какое именно утверждение является ложным. Им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решений в целых положительных числах. На этом же основании им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах.
В итоге рассуждения вывод может быть только один: большую теорему Ферма методом от противного доказать невозможно .
Было бы совсем другое дело, если бы большая теорема Ферма была обратной теоремой, которая имеет прямую теорему, доказанную обычным математическим методом. В этом случае её можно было доказать от противного. А так как она является прямой теоремой, то её доказательство должно иметь в своей основе не логический метод доказательства от противного, а обычный математический метод.
По словам Д. Абрарова, самый известный из современных российских математиков академик В. И. Арнольд на доказательство Уайлса отреагировал «активно скептически». Академик заявил: «это не настоящая математика – настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой».(Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса». Заявление академика выражает самую сущность нематематического доказательства Уайлса большой теоремы Ферма.
Методом от противного невозможно доказать ни того, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений, ни того, что оно имеет решения. Ошибка Уайлса не математическая, а логическая — использование доказательства от противного там, где его использование не имеет смысла и большой теоремы Ферма не доказывает.
Не доказывается большая теорема Ферма и с помощью обычного математического метода, если в ней дано: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах, и если в ней требуется доказать: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах. В такой форме имеется не теорема, а тавтология, лишённая смысла.
Примечание. Моё доказательство БТФ обсуждалось на одном из форумов. Один из участников Trotil, специалист в теории чисел, сделал следующее авторитетное заявление под названием: «Краткий пересказ того, что сделал Миргородский». Привожу его дословно:
«А. Он доказал, что если z 2 = x 2 + y , то z n > x n + y n . Это хорошо известный и вполне очевидный факт.
В. Он взял две тройки — пифагорову и не пифагорову и показал простым перебором, что для конкретного, определённого семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для него).
С. А затем автором опущен тот факт, что из < в последующей степени может оказаться = , а не только > . Простой контрпример — переход n = 1 в n = 2 в пифагоровой тройке.
D. Этот пункт ничего существенного в доказательство БТФ не вносит. Вывод: БТФ не доказана».
Рассмотрю его заключение по пунктам.
А. В нём доказана БТФ для всего бесконечного множества троек пифагоровых чисел. Доказана геометрическим методом, который, как я полагаю, мной не открыт, а переоткрыт. А открыт он был, как я полагаю, самим П. Ферма. Именно его мог иметь в виду Ферма, когда писал:
«Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Данное моё предположение основано на том, что в задаче Диофанта, против которой, на полях книги, писал Ферма, речь идёт о решениях диофантова уравнения, которыми являются тройки пифагоровых чисел.
Бесконечное множество троек пифагоровых чисел является решениями диофатова уравнения, а в теореме Ферма, наоборот, ни одно из решений не может быть решением уравнения теоремы Ферма. И к этому факту поистине чудесное доказательство Ферма имеет непосредственное отношение. Позже Ферма мог распространить свою теорему на множество всех натуральных чисел. На множестве всех натуральных чисел БТФ не относится к «множеству исключительно красивых теорем». Это — моё предположение, которое ни доказать, ни опровергнуть невозможно. Его можно и принимать и отвергать.
В. В данном пункте мной доказывается, что как семейство произвольно взятой пифагоровой тройки чисел, так и семейство произвольно взятой не пифагоровой тройки чисел БТФ выполняется, Это — необходимое, но недостаточное и промежуточное звено в моём доказательстве БТФ. Взятые мной примеры семейства тройки пифагоровых чисел и семейства тройки не пифагоровых чисел имеют значение конкретных примеров, предполагающих и не исключающих существование аналогичных других примеров.
Утверждение Trotil, что я «показал простым перебором, что для конкретного, определённого семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для него) лишено основания. Он не может опровергнуть того факта, что я с таким же успехом могу взять другие примеры пифагоровой и не пифагоровой тройки для получения конкретного определённого семейства одной и другой тройки.
Какую пару троек я ни взял бы, проверка их пригодности для решения задачи может быть осуществлена, на мой взгляд, только методом «простого перебора». Какой-то другой метод мне не известен и не требуется. Если он пришёлся не по вкусу Trotil, то ему следовало бы предложить другой метод, чего он не делает. Не предлагая ничего взамен, осуждать «простой перебор», который в данном случае незаменим, некорректно.
С. Мною опущено = между < и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), в котором степень n > 2 — целое положительное число. Из равенства, находящегося между неравенствами следует обязательное рассмотрение уравнения (1) при нецелом значении степени n > 2 . Trotil, считая обязательным рассмотрение равенства между неравенствами, фактически считает необходимым в доказательстве БТФ рассмотрение уравнения (1) при нецелом значении степени n > 2 . Я это сделал для себя и обнаружил, что уравнение (1) при нецелом значении степени n > 2 имеет решением тройку чисел: z, (z-1), (z-1) при нецелом показателе степени.
- » Задачи человечестваЗАДАЧИ МАТЕМАТИКИ, НЕ РЕШЕННЫЕ ЧЕЛОВЕЧЕСТВОМ
Задачи Гильберта
23 важнейших проблем математики были представлены величайшим немецким математиком Давидом Гильбертом на Втором Международном конгресе математиков в Париже в 1990 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику, вариационное исчисление и теорию вероятностей, не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев
Задачи Ландау
До сих пор существует много открытых вопросов, связанных с простыми числами (простое число - это число, которое имеет отлько два делителя: единицу и само это число). Наиболее важные вопросы были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Междунанародном математическом конгресе:
Первая проблема Ландау (проблема Гольдбаха): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел?
Вторая проблема Ландау
: бесконечно ли множество «простых близнецов»
— простых чисел, разность между которыми равна 2?
Третья проблема Ландау
(гипотеза Лежандра): верно ли, что для всякого натурального числа n между и всегда найдётся простое число?
Четвёртая проблема Ландау
: бесконечно ли множество простых чисел вида , где n — натуральное число?
Задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems)
Это семь математических задач, з а решение каждой из которых инcтитут Клея предложил приз в 1 000 000 долларов США. Вынося на суд математиков эти семь задач, иститут Клея сравнил их с 23 задачами Д.Гильберта, которые оказали большое влияние на на математику ХХ века. Из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия. По состоянию на декабрь 2012 года только одна из семи проблем тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена. Приз за её решение присуждён российскому математику Григорию Перельману, который от него отказался.
Вот список этих семи задач :
№1. Равенство классов P и NP
Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи первого типа относятся к классуц NP, второго — классу Р. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.
№2. Гипотеза Ходжа
Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы комогологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.
№3. Гипотеза Пуанкаре (доказана Г.Я.Перельманом)
Cчитается наиболее известной проблемой топологии. Говоря более просто, она утверждает, что всякий 3D «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации. Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена российскому математику Г.Я.Перельману, опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы Пуанкаре.
№4. Гипотеза Римана
Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта.
№5. Теория Янга — Миллса
Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G квантовая теория Янга — Миллса для четырехмарного пространства существует и имеет ненулевой дефект массы. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.
№6. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.
№7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера
Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.
Всем привет!
Бытует мнение, что сегодня наукой заниматься не выгодно – богатым не стать! Но надеюсь, что сегодняшний пост покажет вам, что это далеко не так. Сегодня я расскажу вам как, занимаясь фундаментальными исследованиями, можно заработать кругленькую сумму.
На любом этапе развития перед любой из наук всегда стоял ряд нерешенных проблем и задач, которые не давали покоя ученым. Физика – холодный термоядерный синтез, математика – гипотеза Гольдбаха, медицина – лекарство от рака и тд. Некоторые из них настолько важны (по тем или иным причинам), что за их решение полагается вознаграждение. И порой это вознаграждение весьма и весьма приличное.
В ряде наук этим вознаграждением может служить Нобелевская премия. Но за математические открытия ее не дают, а поговорить сегодня хотелось бы именно о математике.
Математика – царица наук, предлагает вашему вниманию море нерешенных проблем и интереснейших задач, но поговорим мы сегодня только о семи. Их еще называют «Задачами тысячелетия».
Казалось бы, задачи, да и задачи? Что в них особенного? Дело в том, что решение их не найдено на протяжении уже многих лет, да и за решение каждой из них институт имени Клэя пообещал вознаграждение в размере 1 миллиона долларов! Согласитесь, не мало. Конечно не «Нобелевка», размер которой, примерно, 1,5 миллиона, но тоже сойдет.
Вот их список:
- Равенство классов P и NP
- Гипотеза Ходжа
- Гипотеза Пуанкаре (решена)
- Гипотеза Римана
- Квантовая теория Янга - Миллса
- Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса
- Гипотеза Бёрча - Свиннертон-Дайера
Итак, давайте рассмотрим подробнее каждую из них.
1.Равенство классов P и NP
Эта задача является одной из важнейших задач в теории алгоритмов, и, держу пари, многие из вас хоть и косвенно о ней слышали. Что это за проблема и в чем ее суть? Представьте, что есть некий класс задач, на которые мы можем быстро давать ответ, то есть быстро находить для них решение. Этот класс задач в теории алгоритмов называю P классом. А есть класс задач, для которых мы можем быстро проверить правильность их решения – это NP класс. И доселе, не известно равны ли эти классы или нет. То есть не известно, можно ли, хоть в теории, найти такой алгоритм по которому мы сможем так же быстро находить решение поставленной задачи, как и проверять его правильность.
Классический пример. Пусть дано множество чисел, например: 50, 2, 47, 5, 21, 4, 78, 1. Задача: можно ли подобрать среди этих чисел такие, что их сумма даст 100? Ответ: можно, например 50+47+2+1 = 100. Проверить верность решения просто. Четыре раза применим операцию сложения и все. Толи дело подобрать эти числа. На первый взгляд это сделать гораздо сложнее. То есть найти решение задачи сложнее, чем его проверить. С точки зрения банальной эрудиции так оно и есть, но математически это не доказано, и остается надежда на то что это не так.
И что с этого? Что с того, если окажется что классы P и NP окажутся равны? Все просто. Равенство классов означает то, что существуют алгоритмы решения многих задач, которые работают гораздо быстрее, чем ныне известные (как было сказано выше).
Естественно, была предпринята далеко не одна попытка доказать или опровергнуть эту гипотезу, но ни одна не увенчалась успехом. Последней была попытка индийского математика Винэя Деолаликара. По мнению автора формулировки проблемы, Стивена Кука, это решение было «относительно серьёзной попыткой решить проблему P vs NP». Но, к сожалению, в представленном доказательстве был найден ряд ошибок, которые автор пообещал исправить.
2.Гипотеза Ходжа
Сложное есть сумма простых составляющих. В результате изучения сложных объектов математики разработали методы их аппроксимации посредствам склеивания объектов возрастающей размерности. Но пока не выяснено, до какой степени можно проводить подобного рода аппроксимацию, и остается неясна геометрическая природа некоторых объектов, которые используются при аппроксимации.
3.Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Пуанкаре на сегодняшний момент является единственной из семи задач тысячелетия, которая была решена. Отрадно заметить, что автором решения стал наш соотечественник Григорий Яковлевич Перельман, по совместительству гений-затворник. О нем можно много и интересно рассказывать, но сосредоточимся на самой гипотезе.
Формулировка:
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
Или обобщенная гипотеза Пуанкаре:
Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.
По-простому, суть проблемы в следующем. Если взять яблоко и обтянуть его резиновой пленкой, то мы, с помощью деформаций, не разрывая пленку, можем превратить яблоко в точку или кубик, но никоим образом не сможем превратить его в бублик. Кубик, трехмерная сфера и даже трехмерное пространство идентичны друг другу, с точностью до деформации.
Не смотря на столь простую формулировку, гипотеза оставалась не доказанной на протяжении сотни лет. Хотя в математике, порой, чем проще формулировка, тем сложнее доказательство (все помним о Великой теореме Ферма).
Вернемся к товарищу Перельману. Этот господин знаменит еще тем, что отказался от положенного ему миллиона, заявив следующее: «Зачем мне ваши деньги, если у меня в руках вся Вселенная?» Я бы так не смог. Вследствие отказа выделенный миллион был пожалован молодым французским и американским математикам.
Напоследок хотелось бы заметить, что гипотеза Пуанкаре не имеет совершенно никакого практического применения(!!!).
4.Гипотеза Римана.
Гипотеза Римана является, наверное, самой известной (на ряду с гипотезой Пуанкаре) из семи задач тысячелетия. Одной из причин ее известности среди людей профессионально не занимающихся математикой в том, что она имеет весьма простую формулировку.
Все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть равную?.
Согласитесь, весьма просто. И кажущаяся простота являлась причиной многих попыток доказать сею гипотезу. К сожалению, пока безрезультатно.
Большое количество безрезультатных попыток доказать гипотезу Римана породило сомнение о ее справедливости среди некоторых математиков. Среди них Джон Литлвуд. Но ряды скептиков не столь много числены и большая часть математического сообщества склонны считать, что гипотеза Римана, все же, верна. Косвенным подтверждением этого является справедливость ряда схожих утверждений и гипотез.
Многие алгоритмы и утверждения в теории чисел были сформулированы с допущением, что вышеуказанная гипотеза верна. Таким образом доказательство справедливости гипотезы Римана утвердит фундамент теории чисел, а ее опровержение теорию чисел «пошатнет» в самом основании.
И, напоследок, один довольно известный, но весьма интересный факт. Однажды у Давида Гильберта спросили: «Каковы будут ваши первые действия, если вы проспите 500 лет и проснетесь?» - «Я спрошу, доказана ли гипотеза Римана».
5. Теория Янга - Миллса
Одна из калибровочных теорий квантовой физики с неабелевой калибровочной группой. Данная теория была предложена в середине прошлого века, но долгое время рассматривалась как чисто математический прием, не имеющий никакого отношения к реальной природе вещей. Но позже на основе теории Янга-Миллса были построены основные теории Стандартной модели - квантовая хромодинамика и теория слабых взаимодействий.
Формулировка проблемы:
Для любой простой компактной калибровочной группы квантовая теория Янга - Миллса для пространства существует и имеет ненулевой дефект массы.
Теория отлично подтверждается результатами экспериментов и результатам компьютерного моделирования, но теоретического доказательства не получила.
6. Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса
Одна из самых важных задач гидродинамики, и последняя из нерешенных проблем классической механики.
Уравнение Навье-Стокса дополненное уравнениями Максвелла, уравнениями переноса тепла и тд, используется при решении многих задач электрогидродинамики, магнитогидродинамики, конвекции жидкосте и газов, теплодифузии и тд.
Сами уравнения представляют из себя систему уравнений в частных производных. Уравнения состоят из двух частей:
- уравнения движения
- уравнения неразрывности
Нахождение полного аналитического решения уравнений Навье-Стокса сильно осложняется их нелинейностью и сильной зависимостью от граничных и начальных условий.
7. Гипотеза Бёрча - Свиннертон-Дайера
Последняя из проблем тысячелетия - это гипотеза Бёрча - Свиннертон-Дайера.
Гипотеза утверждает, что
ранг эллиптической кривой r над Q равен порядку нуля дзета-функции Хассе-Вейля
E(L,s) в точке s = 1.
Данная гипотеза единственный относительно простой способ определения ранга эллиптических кривых, которые, в свою очередь, являются основными объектами изучения современной теории чисел и криптографии.
Вот и все проблемы тысячелетия. Прошу прощения, за то, что некоторые проблемы освещены гораздо меньше остальных. Это связано с отсутствием информации по данным проблемам и невозможностью довольно просто (без привлечения громоздкой и сложной математики) изложить их суть. За решение каждой из проблем институт Клея объявил награду в 1 миллион долларов. Дерзайте! Есть шанс неплохо заработать, двигая вперед фундаментальную науку, ведь шесть из семи проблем пока так и не дождались своего решения.